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Spirale Fibonacci e Aurea

Spirale Fibonacci e Aurea

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Ho fatto il mio lavorità su questo argomento. L'obbiettivo del programma è dimostrare che la spirale di fibonacci e quella del numero aureo non si avvicinano sempre di piu come potrebbe sembrare, dato che il rapporto tra due numeri di fibonacci tende al numero aureo. Ma invece di avvicinarsi divergono sempre di più, dato all'inizio della successione cè una differenza tra i numeri iniziali e a ogni aumento di n la differenza aumenta secondo il rapporto aureo.


Categoria: Matematica e fisica / C++
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Data: prima del 10/09/2009
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  • in realtà la successione di Fibonacci, chiamiamola A(n), è legata alla successione:

    B(n) = FI^n         per ogni n appartenente a N

    (dove FI è ovviamente la costante aurea) dato che condividono la stessa equazione alle differenze:

    F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0    con F(n)=A(n) oppure F(n)=B(n)

    l'unica differenza sono le consizioni iniziali:

    A(0) = 1; A(1) = 1;
    B(0) = 1; B(0) = FI;
  • si ma cosa centra? lo so beh che è legata a FI^n dato che si puo esprimere come A*((1-?5)/2)^n+B*((1+?5)/2)^n dove A,B dipendono dalle condizioni iniziali, in ogni caso la definizione originale della successione di fibonacci è:
    F(0)=F(1)=1F(n+2)=F(n+1)+F(n)ed il legame con FI è stato scoperto solo in seguito.
  • Al di la del quando e' stato scoperto, il legame che ho esposto rendeva evidente perche' le successioni non potevano avvicinarsi dato che ogni elemento dipende in maniera direttamente proporzionale dai primi due e quindi:

    Consideriamo la differenza delle successioni

    D(N) = B(N) - A(N)

    avendo  A e B la stessa equazione risultera', tramite la seguente espressione

    D(N + 2) = B(N + 2) - A(N + 2) = B(n+1) + B(n) - A(n+1) - A(n) = (B(n+1) - A(n+1)) + (B(n) - A(n))

    che anche D(N) segue la stessa equazione

    D(N + 2) = D(n+1) + D(n)

    con condizioni iniziali

    D(0) = 0
    D(1) = FI - 1 > 0

    da cui il carattere divergente della differenza, e quindi il progressivo allontanamento delle due successioni.

    Ciao.
  • Al di la del quando e' stato scoperto, il legame che ho esposto rendeva evidente perche' le successioni non potevano avvicinarsi dato che ogni elemento dipende in maniera direttamente proporzionale dai primi due e quindi:

    Consideriamo la differenza delle successioni

    D(N) = B(N) - A(N)

    avendo  A e B la stessa equazione risultera', tramite la seguente espressione

    D(N + 2) = B(N + 2) - A(N + 2) = B(n+1) + B(n) - A(n+1) - A(n) = (B(n+1) - A(n+1)) + (B(n) - A(n))

    che anche D(N) segue la stessa equazione

    D(N + 2) = D(n+1) + D(n)

    con condizioni iniziali

    D(0) = 0
    D(1) = FI - 1 > 0

    da cui il carattere divergente della differenza, e quindi il progressivo allontanamento delle due successioni.

    Ciao.